Question

15．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM=∠CBN，则易证③．（选择正确答案填空）
①AM+CN＞MN；②$\sqrt{2}$（AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系是否仍然成立？若成立给予证明，若不成立探究出它们之间关系．
【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC与∠ADC互补．点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请写出猜想并证明．

Answer 1

分析 （1）设BD于MN交于点H，如图1（1），根据正方形的性质得∠ABH=∠CBH=45°，BA=BC，由于∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，则∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，再证明△ABM≌△CBN得到BM=BN，AM=CN，接着根据等腰三角形的性质可判断BH⊥MN，于是根据角平分线的性质得MA=MH，NH=NC，所以有MN=AM+CN；
（2）把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），根据旋转的性质得BM=BP，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，再证明点P在DC的延长线上，则NC+CP=NP，利用∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°得到∠NBP=45°，接着可证明△BNM≌△BNP，则MN=NP，于是有MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】如图2，由于∠ABC+∠ADC=180°，根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD=180°，则∠BAM=∠BCD，根据旋转的定义，可把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCQ，则根据旋转的性质得∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，则∠BCQ=∠BCD，则可判断点Q在CN上得到CN=CQ+MQ=AM+NQ，然后证明△BMN≌△BQN得到MN=QN，则CN=AM+MN．

解答 （1）解：设BD于MN交于点H，如图1（1），
∵BD为正方形ABCD的正方形，
∴∠ABH=∠CBH=45°，BA=BC，
∵∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，
∴∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，
在△ABM和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CB}\\{∠ABM=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM=BN，AM=CN，
而∠HBM=∠HBN，
∴BH⊥MN，
∴MA=MH，NH=NC，
∴AM=MH=HN=NC，
∴MN=AM+CN；
故答案为③；
（2）解：在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系仍然成立．理由如下：
把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），
∴BM=BP，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，
∵∠BCP+∠BCN=180°，
∴点P在DC的延长线上，
∴NC+CP=NP，
∵∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠NBP=45°，
在△BNM和△BNP中
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BP}\\{∠MBN=∠PBN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BNM≌△BNP，
∴MN=NP，
∴MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】解：如图2，∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠BAM=∠BCD，
∵AB=BC，
∴把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCQ，
∴∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，
∴∠BCQ=∠BCD，
∴点Q在CN上，
∴CN=CQ+MQ=AM+NQ，
∵∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠MBN=$\frac{1}{2}∠$MBQ，
∴∠MBN=∠QBN，
在△BMN和△BQN中
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BQ}\\{∠MBN=∠QBN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△BQN，
∴MN=QN，
∴CN=AM+MN，
即MN=CN-AM．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和旋转的性质；灵活应用全等三角形的判定与性质解决线段相等的问题；解决本题的关键是构建全等三角形．