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【题目】如图,已知抛物线经过点,,三点,与点关于轴对称,是线段上的一个动点,设点的坐标为,过点轴的垂线交抛物线于点,交直线于点.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;

(2)在点运动过程中,是否存在点,使得以为直径的圆与轴相切?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;

(3)连接,绕平面内某点顺时针旋转,得到,的对应点分别是点.的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”, 那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.

【答案】(1)(2)(3)2个;A1横坐标为1.

【解析】

1)把点A10)、B40)、C03)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;

2)先求出BD直线解析式,根据题意得到2OP=QM=直径d即可求解;

3)两个和谐点;AO1OC2,设A1xy),则C1x2y1),O1xy1),①当A1C1在抛物线上时,②当O1C1在抛物线上分别代入求解.

1)设抛物线解析式为yax2bxc

将点A10),B40),C02)代入解析式,

解得

2)∵点C与点D关于x轴对称,

D02).

设直线BD的解析式为ykx2

∵将(40)代入得:4k20

k

∴直线BD的解析式为yx2

当点,使得以为直径的圆与轴相切,

2OP=QM= d

P

Qm,,M(m, m2)

2m=-m2

解得m=2m=-4,

在线段上,故m=-4不符合题意,

m=2

3)两个和谐点;

AO1OC2

A1xy),则C1x2y1),O1xy1),

∴①当A1C1在抛物线上时,

A1的横坐标是1

②当O1C1在抛物线上时,

A1的横坐标是.

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