Question

如图，长为2，宽为a的矩形纸片（1＜a＜2），剪去一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形长为a，宽为

2-a

；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面积；
②若在第3次操作后，剩下的图形恰好是正方形，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由图可知，第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长-原矩形的宽，即为：2-a；
（2）①求出二次操作后剩下的矩形的边长，利用矩形的面积公式=长×宽即可；
②本小题要根据a的求值范围不同进行讨论，求出满足题意的a值即可．

解答：解：（1）由图可知，第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长-原矩形的宽，即为：2-a
故答案为：2-a；

（2）①因为第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：2-a，2a-2，
∴面积为：（2-a）（2a-2）=-2a²+6a-4，
②当2-a＞2a-2，a＜

4

3

时，2-a=2（2a-2），
 解得：a=

6

5

；
当2-a＜2a-2，a＞

4

3

时，2（2-a）=2a-2，
解得：a=

3

2

；
综合得a=

6

5

或

3

2

．

点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质以及正方形、矩形的面积公式以及分类讨论思想在几何题目中的运用．