Question

（2011•朝阳）平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，-

9

2

）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（

1

2

，0），且BC=5，AC=3（如图（1））．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线顶点坐标为（3，-

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），利用顶点式求出即可；
（2）根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧（含原点O）时，分别分析即可得出答案．

解答：解：（1）由题意，设所求抛物线为
y=a（x-3）²-

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2

．①
将点（0，0）代入①，得a=

1

2

．
∴y=

1

2

x²-3x．

（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：
S=S_△OBD+S_梯形OCAD-S_△ABC，
=

1

2

•4•（-m）+

1

2

（4+3）（5+m）-

15

2

，
=

3

2

m+10．
∴S=

3

2

m+10．（-4.5≤m＜0），
当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：
S=S_梯形OCAD-S_△OBD-S_△ABC，
=

1

2

（4+3）（5+m）-

1

2

•4•m-

15

2

，
=

3

2

m+10．
∴S=

3

2

m+10．（0≤m＜

15

-2），
②m₁=-1，m₂=-4，m₃=-4.4．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据顶点式求出二次函数解析式是解题关键，注意根据B位置进行讨论，不要漏解．