Question

如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．
（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
（3）直线L₁过点A且与x轴平行，问在L₁上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直线L过A，B两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面积，就需知道底边OP和高QM的长，已知了OP为t，关键是求出QM的长．已知了QM垂直平分OP，那么OM=

1

2

t，然后要分情况讨论：
①当OM＜OB时，即0＜t＜2时，BM=OB-OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM=BM，由此可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式．
②当OM＞OB时，即当t≥2时，BM=OM-OB，然后根据①的方法即可得出S与t的函数关系式．
然后可根据0＜t＜2时的函数的性质求出S的最大值；
（3）如果存在这样的点C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就关于直线BL对称，因此C的坐标应该是（1，1）．那么只需证明CQ⊥PQ即可．分三种情况进行讨论．
①当Q在线段AB上（Q，B不重合），且P在线段OB上时．要证∠CQP=90°，那么在四边形CQPB中，就需先证出∠QCB与∠QPB互补，由于∠QPB与∠QPO互补，而∠QPO=∠QOP，因此只需证∠QCB=∠QOB即可，根据折叠的性质，这两个角相等，由此可得证．

②当Q在线段AB上，P在OB的延长线上时，根据①已得出∠QPB=∠QCB，那么这两个角都加上一个相等的对顶角后即可得出∠CQP=∠CBP=90度．
③当Q与B重合时，很显然，三角形CQP应该是个等腰直角三角形．
综上所述即可得出符合条件C点的坐标．

解答：解：由题意得
（1）y=1-x；

（2）∵OP=t，
∴Q点的横坐标为

1

2

t，
①当0＜

1

2

t＜1，即0＜t＜2时，QM=1-

1

2

t，
∴S_△OPQ=

1

2

t（1-

1

2

t）．
②当t≥2时，QM=|1-

1

2

t|=

1

2

t-1，
∴S_△OPQ=

1

2

t（

1

2

t-1）．
∴S=

1 2 t(1- 1 2 t)，0＜t＜2 1 2 t( 1 2 t-1)，t≥2

当0＜

1

2

t＜1，即0＜t＜2时，S=

1

2

t（1-

1

2

t）=-

1

4

（t-1）²+

1

4

，
∴当t=1时，S有最大值

1

4

；


（3）由OA=OB=1，
所以△OAB是等腰直角三角形，
若在L₁上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，
则PQ=QC，
所以OQ=QC，又L₁∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，
所以AC=OA=1，得C（1，1）．下面证∠PQC=90度．连CB，则四边形OACB是正方形．
①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图-1．
由对称性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP，
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°，
∴∠PQC=360°-（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．
②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图-2，如图-3
∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2，
∴∠PQC=∠PBC=90度．
③当点Q与点B重合时，显然∠PQC=90度．
综合①②③，∠PQC=90度．
∴在L₁上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．

点评：本题结合了三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用，要注意的是（2）中为保证线段的长度不为负数要分情况进行求解．（3）中由于Q，P点的位置不确定，因此要分类进行讨论不要漏解．