Question

【题目】如图，将一副三角板中含有30°角的三角板的直角顶点落在等腰直角三角形的斜边的中点D处，并绕点D旋转，两直角三角板的两直角边分别交于点E，F，下列结论：①DE=DF；②S四边形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正确的序号是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

连接AD，如图，由已知条件利用ASA推导证明△DBE≌△DAF，根据全等三角形的性质可得DE=DF，由此可判断①；同①一样的道理可证明△DCF≌△DAE，由此可判断②；由S△ABC=ADBC=AD2AD=AD2，确定出只有当DE⊥AB时，四边形AEDF为矩形，此时AD=EF，由此可以判断③；在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，再根据△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，即可得到EF2=BE2+CF2，由此可判断④.

连接AD，如图，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠B=∠C=45°，

∵点D为等腰直角△ABC的斜边的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD=AD，AD平分∠BAC，

∴∠2+∠3=90°，∠1=45°，

∵∠EDF=90°，即∠4+∠3=90°，

∴∠2=∠4，

在△DBE和△DAF中

，

∴△DBE≌△DAF（ASA），

∴DE=DF，所以①正确；

同理可得△DCF≌△DAE，

∴S四边形AEDF=S△BED+S△CFD，所以②正确；

∵S△ABC=ADBC=AD2AD=AD2，

而只有当DE⊥AB时，四边形AEDF为矩形，此时AD=EF，

∴S△ABC不一定等于EF2，所以③错误；

在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，

∵△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，

∴BE=AF，CF=AE，

∴EF2=BE2+CF2，所以④正确，

故答案为：①②④．