Question

16．已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值为整数的实数k的整数值．

Answer 1

分析 （1）根据已知方程有两个实数根，那么△≥0，可得k的范围，由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+2}{4k}$，然后把x₁+x₂、x₁x₂代入（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$中，进而可求k的值；
（2）由x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂与x₁x₂，将$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x₁+x₂与x₁x₂代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根，
∴△=16k²-4×4k（k+2）=-32k≥0，且4k≠0，
解得k＜0；
∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+2}{4k}$，
∴（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=2x₁²-4x₁x₂-x₁x₂+2x₂²
=2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=2×1²-9•$\frac{k+2}{4k}$=$\frac{-k-18}{4k}$，
若$\frac{-k-18}{4k}$=-$\frac{3}{2}$成立，
解上述方程得，k=$\frac{18}{5}$，
∵k＜0，则k=$\frac{18}{5}$不成立，
∴不存在这样k的值．

（2）∵x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+2}{4k}$，且16k²-16k（k+2）≥0，即k＜0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2=$\frac{2k-2}{k+1}$-2=$\frac{-4}{k+1}$，
由此式子的值为整数，得到k=-5，-3，-2，0，1，3．
∵k＜0，
∴k=-5，-3，-2．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．