Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，

∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切
（2）解：连接OE，

设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75
【解析】（1）连接OD，利用垂直平分线的性质得到EB=ED，再利用等边对等角的性质得到∠B=∠EDB，∠A=∠ODA，然后利用等量代换得到OD⊥DE.
（2）设DE=x，在直角三角形OCE中列勾股定理方程，其中OE的长度的平方利用OE2=OD2+DE2替代，从而可以列出关于x的等式.