Question

22、已知：如图1，从以AB为直径的圆上一点D引一切线，再从AB上一点C引这条切线的垂线，垂足为E．
（1）如果DC⊥AB且DC交圆于点F，请证明：CE•AB=AC•CB+CD²；

（2）如果DC与AB不垂直如图2，那（1）中结论是否还成立？请证明你的想法．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证明Rt△ODC∽Rt△DCE，根据相似三角形的性质得以证明．
（2）连接DO并延长交⊙于点G，连接GF，证明Rt△GDF∽Rt△DCE，根据相似三角形的性质得以证明．

解答：证明：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线且OD为半径，
∴OD⊥DE．
∵CE⊥DE，
∴OD∥CE．
∴∠ODC=∠DCE．
故Rt△ODC∽Rt△DCE．（1分）
∴OD：DC=DC：CE．
即CE•OD=DC²（2分）
∵AB=2OD，
∴CE•AB=2CD²．
∵DC⊥AB且AB为直径，
∴DC²=AC•CB．
∴CE•AB=AC•CB+CD²．（4分）

（2）如果DC与AB不垂直，那（1）中结论依然成立．（5分）
理由如下：
如图，连接DO并延长交圆于点G，连接GF．
∵GD为直径且DE为圆的切线，
∴∠GFD=90°=∠GDE．
∵CE⊥DE，
∴GD∥CE．
∴∠GDC=∠DCE．
故Rt△GDF∽Rt△DCE．（6分）
∴GD：CD=DF：CE．
故CE•GD=CD•DF．（7分）
∵GD=AB，DF=CD+CF，
∴CD•（CF+CD）=CD•CF+CD²
∵CD•CF=AC•CB，
∴CE•AB=AC•CB+CD²．（8分）

点评：本题要求的综合能力较强，主要考查了切线的性质及相似三角形的判定和性质．