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已知二次函数的图象如图.

(1)求它的对称轴与轴交点D的坐标;

(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与轴,轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;

(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.

 



解: (1)由  

∴D(3,0)

(2)方法一:

如图1, 设平移后的抛物线的解析式为

  

则C   OC=

   即 

     

∴A,B

 

即:

得     (舍去)  

∴抛物线的解析式为  

方法二:

 

∴顶点坐标

设抛物线向上平移h个单位

则得到,顶点坐标      

∴平移后的抛物线:  

时,

  

∴ A   B    

∵∠ACB=90°   ∴△AOC∽△COB

OA·OB

   

解得 ,  

∴平移后的抛物线:  

(3)方法一:

如图2, 由抛物线的解析式可得

A(-2 ,0),B(8,0) ,C(4,0) ,M   

过C、M作直线,连结CD,过M作MH垂直y轴于H

 

 

在Rt△COD中,CD==AD  

∴点C在⊙D上          

  

∴△CDM是直角三角形,∴CD⊥CM

∴直线CM与⊙D相切   

方法二:

如图3, 由抛物线的解析式可得

A(-2 ,0),B(8,0) ,C(4,0) ,M   

作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H

,

由勾股定理得

∵DM∥OC          

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME          

    得    

由(2)知

∴⊙D的半径为5 

∴直线CM与⊙D相切        

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其中

.

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