Question

已知：如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A，连接CD，BE，交于点P．
（1）观察度量，∠BPC的度数为

120°

．（直接写出结果）
（2）若绕点A将△ACE旋转，使得∠BAC=180°，请你画出变化后的图形．（示意图）
（3）在（2）的条件下，求出∠BPC的度数．

Answer 1

分析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：由△ABD与△ACE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形DAC与三角形BAE全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性质，等量代换即可得到所求；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）解法同（1），求出∠BPC的度数即可．

解答：解：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：
证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠ADC+∠CDB=60°，
∴∠ABE+∠CDB=60°，
∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，
∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．

点评：此题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．