Question

【题目】在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．

（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；

（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；

（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M（4﹣2，2）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．

【解析】

（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．解直角三角形求出OD，OM即可解决问题．

（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．

（Ⅲ）分两种情形：①如图③1中，当点M在线段BN上时，②如图③2中，当点N在线段BM上时，分别求解即可解决问题．

（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．

∵A（4，0），B（0，4），

∴OA＝OB＝4，

∵C是AB的中点，

∴OC＝CB＝CA＝AB，且OC⊥AB，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴当α＝45°时，点M在AB上，

由旋转可知：△AOC≌△AMN，

∴AM＝OA＝4．MD＝AD＝AM＝2，

∴OD＝OA＝AD＝4﹣2，

∴M（4﹣2，2）．

（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，

∵∠BNM＝∠BOM＝90°，P是BM的中点，

∴OP＝PN＝PB＝PM，

∴∠PMN＝∠PNM，∠POB＝∠PBO，

∵∠NPM＝180°﹣2∠PMN，∠BPO＝180°﹣2∠PBO，

∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（∠PMN+∠PBO）

∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（45°+∠PMO+∠PBO），

∵∠PMO+∠PBO＝90°，

∴∠MPN+∠BPO＝90°，

∴∠OPN＝180°﹣（∠MPN+∠BPO）＝90°，

∴OP⊥PN．

（Ⅲ）①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，

在Rt△ABN中，∵AB＝4，AN＝2，

∴AB＝2AN，

∴∠ABN＝30°，

∴BN＝AN＝2，BM＝BN＝MN＝2﹣2，

过点M作MK⊥OB于K，在MK上截取一点J，使得BJ＝MJ，设BK＝a，

∵∠ABO＝45°，

∴∠MBK＝75°，∠KMB＝15°，

∵JB＝JM，

∴∠JBM＝∠JMB＝15°，

∴∠BJK＝∠JBM+∠JMB＝30°，

∴BJ＝JM＝2a，KJ＝a，

∵BM2＝BK2+KM2，

∴（2﹣2）2＝a2+（2a+a）2，

解得a＝4﹣2（负根已经舍弃），

∴KM＝2a+a＝2，OK＝2，

∴M（2，2），

②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，同法可得M（2，﹣2），

综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．