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19.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,AE=4,点F是边BC上一点,将△ABF沿AF折叠,使点B落在BE上的点B′处,射线DC与射线AF相交于点M,若点N是射线AF上一动点,则当△DMN是等腰三角形时,AN的长为2或5或18.

分析 由△ABE∽△DAM,得$\frac{AB}{DA}$=$\frac{AE}{DM}$,由此求出DM、AM,分两种情形讨论即可.

解答 解:由题意可知,AF⊥BE,
∴∠BAF+∠ABE=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=90°,
∴∠BAF+∠DAM=90°,
∴∠DAM=∠ABE,
∴△ABE∽△DAM,
∴$\frac{AB}{DA}$=$\frac{AE}{DM}$,
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{4}{DM}$,
∴DM=8,AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10,
①当MN=MD时,AN=AM-DM=10-8=2或AN=AM+DM=10+8=18,
②当ND=NM时,易知点N是AM中点,所以AN=$\frac{1}{2}$AM=5,
综上所述,当AN=2或5或18时,△DMN是等腰三角形.

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用相似三角形的性质求出DM和AM,学会分类讨论的思想,所以中考常考题型.

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