Question

已知⊙O的半径为4，A，B，C，D是圆上的四个点，且AB=BC=CD=2，那么AD的长为（　　）

• A、2

  6

• B、5.5
• C、2

  5

• D、5.4

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,等腰梯形的判定

专题：计算题

分析：作BH⊥AD于H，OE⊥BC于E，交AD于F，连接OA、OB，如图，根据圆心角、弧、弦的关系由AB=CD=2得到弧AB=弧CD，则BC∥AD，于是可判断四边形ABCD为等腰梯形，由OE⊥BC得到OF⊥AD，根据垂径定理得BE=EC=1，AF=DF，在Rt△△OBE中，利用勾股定理计算出OE=

15

，设AD=2x，则AF=x，AH=AF-HF=x-1，在Rt△ABH中，利用勾股定理得BH=

22-(x-1)2

，则OF=

15

-

22-(x-1)2

，在Rt△AOF中，根据勾股定理得到（

15

-

22-(x-1)2

）²+x²=16，
整理得4x²-7x-11=0，解得x₁=-1，x₂=

11

4

，然后利用AD=2x计算即可．

解答：解：作BH⊥AD于H，OE⊥BC于E，交AD于F，连接OA、OB，如图，
∵AB=CD=2，
∴弧AB=弧CD，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∵OE⊥BC，
∴OF⊥AD，
∴BE=EC=1，AF=DF，
在Rt△△OBE中，OE=

OB2-BE2

=

42-12

=

15

，
设AD=2x，则AF=x，AH=AF-HF=x-1，
在Rt△ABH中，BH=

AB2-AH2

=

22-(x-1)2

，
∴OF=OE-EF=OE-BH=

15

-

22-(x-1)2

，
在Rt△AOF中，∵OF²+AF²=OA²，
∴（

15

-

22-(x-1)2

）²+x²=16，
整理得4x²-7x-11=0，解得x₁=-1，x₂=

11

4

∴AD=2x=5.5．
故选D．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰梯形的判定．