Question

探究、猜想、证明题：
观察下列数据：
1×2×3×4+1=25=5²=（1²+3×1+1）²
2×3×4×5+1=121=11²=（2²+3×2+1）²
3×4×5×6+1=361=19²=（3²+3×3+1）²
4×5×6×7+1=841=29²=（4²+3×4+1）²
…
猜想：（1）5×6×7×8+1=1681=41²=（______²+______+______） ²
n（n+1）（n+2）（n+3）+1=______　　　　　　
证明：（2）四个连续自然数的乘积加上1是一个完全平方数．

Answer 1

解：1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，
得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），
∴5×6×7×8+1=41²=（5²+3×5+1）²．
（2）根据（1）得出的结论得出：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
故答案为：5、15、1、（n²+3n+1）²．
分析：（1）观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），所以可得出5×6×7×8+1=（5²+3×5+1）²=41²；
（2）根据（1）得出的规律可得出结论．
点评：此题考查了完全平方数的知识，解答本题的关键是发现规律为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²（n≥1），一定要通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，难度较大．