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(2012•温州)如图,已知动点A在函数y=
4
x
(x>0)
的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC.直线DE分别交x轴于点P,Q.当QE:DP=4:9时,图中阴影部分的面积等于
13
3
13
3
分析:过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EF⊥y轴于点F.令A(t,
4
t
),则AD=AB=DG=
4
t
,AE=AC=EF=t,则图中阴影部分的面积=△ACE的面积+△ABD的面积=
1
2
t2+
1
2
×
16
t2
,因此只需求出t2的值即可.先在直角△ADE中,由勾股定理,得出DE=
t4+16
t
,再由△EFQ∽△DAE,求出QE=
t
t4+16
4
,△ADE∽△GPD,求出DP=:
4
t4+16
t3
,然后根据QE:DP=4:9,即可得出t2=
8
3
解答:解:解法一:过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EF⊥y轴于点F.
令A(t,
4
t
),则AD=AB=DG=
4
t
,AE=AC=EF=t.
在直角△ADE中,由勾股定理,得DE=
AD2+AE2
=
16
t2
+t2
=
t4+16
t2
=
t4+16
t

∵△EFQ∽△DAE,
∴QE:DE=EF:AD,
∴QE=
t
t4+16
4

∵△ADE∽△GPD,
∴DE:PD=AE:DG,
∴DP=
4
t4+16
t3

又∵QE:DP=4:9,
∴=
t
t4+16
4
4
t4+16
t3
=4:9,
解得t2=
8
3

∴图中阴影部分的面积=
1
2
AC2+
1
2
AB2=
1
2
t2+
1
2
×
16
t2
=
4
3
+3=
13
3


解法二:∵QE:DP=4:9,
∴EF:PG=4:9,
设EF=4t,则PG=9t,
∴A(4t,
1
t
),
由AC=AE AD=AB,
∴AE=4t,AD=
1
t
,DG=
1
t
,GP=9t,
∵△ADE∽△GPD,
∴AE:DG=AD:GP,
4t:
1
t
=
1
t
:9t,即t2=
1
6

图中阴影部分的面积=
1
2
×
4t×4t+
1
2
×
1
t
×
1
t
=
13
3

故答案为:
13
3
点评:本题考查了反比例函数的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,三角形的面积等知识,综合性较强,有一定难度.根据QE:DP=4:9,得出t2的值是解题的关键.
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