Question

在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，E为劣弧CB上一动点（不与点B，C重合），DE交弦BC于点N，AE交半径OC于点M．在E点运动过程中，∠AMC与∠BNE的大小关系为（ ）

A．∠AMC＞∠BNE
B．∠AMC=∠BNE
C．∠AMC＜∠BNE
D．随着E点的运动以上三种关系都有可能

Answer 1

【答案】分析：两角应该相等；首先看∠AMC，此角是△CMH的外角（设AE与BC的交点是H），则∠MCB+∠CHM=∠AMC，由于OB、OC都是半径，则有：∠MCB=∠B，即∠AMC=∠B+∠CHM；同理可知∠BNE=∠E+∠NHE；观察上述两式，∠CHM和∠EHN是对顶角，两角相等；而由垂径定理易证得∠B和∠E所对的弧相等，由此可证得∠B=∠E，即∠AMC=∠BNE．
解答：解：如图；∵AB是直径，且AB⊥CD，
∴=；
∴∠B=∠E；
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，即∠OCB=∠E；
∵∠AMC=∠OCB+∠MHC，∠BNE=∠NHE+∠E，
且∠MHC=∠NHE，∠OCB=∠E；
∴∠AMC=∠BNE．
故选B．
点评：此题主要考查的是垂径定理、圆周角定理以及三角形外角的性质．