Question

15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．

解答 解：（i）如图1所示：当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°．

当B′C=B′D时，AG=DH=$\frac{1}{2}$DC=8．
由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B′E=BE=13．
∴EG=AG-AE=8-3=5，
∴B′G=$\sqrt{B′{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴B′H=GH-B′G=16-12=4，
∴DB′=$\sqrt{B′{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．
（iii）如图2所示：

当CB′=CD时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或4$\sqrt{5}$．
故答案为：16或4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．