Question

如图1，抛物线y=-a（x-1）²+5经过点A和点B．已知点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作x轴的垂线，垂足为点H．在DH的右侧作等边△DHG．将过抛物线顶点M的直线记为l，设l与x轴交于点N．
①如图1，当动点D的坐标为（1，2）时，若直线l过△DHG的顶点G．求此时点N的横坐标是多少？
②若直线l与△DHG的边DG相交，试求点N横坐标的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点A（2，4）在抛物线上，
∴把点A坐标代入y=a（x+1）²-5得a=1，
∴抛物线C₁的解析式为y=x²+2x-4，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；

（2）①如图
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG=，
EH=1，
∴ME=4，
设N（x，0），则NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得，
∴=，
∴x=+1，
∴点N的横坐标为+1，
②当点D移到与点A重合时，如备用图1
直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
设N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=HG=2，HQ==2，
∴OQ=OH+HQ=2+2，
∴G（2+2，2），
∴NQ=x-2-2，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴，
∴，
∴x=，
当点D移到与点B重合时，如备用图2
直线l与DG交于点D，即点B，
此时点N的横坐标最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴，
∴，
∴x=-，
∴点N横坐标的范围为-≤x≤且x≠0．
分析：（1）由于抛物线经过A、B两点，将A点坐标代入抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B点的坐标．
（2）①已知点D的坐标，即可求得正△DGH的边长，过G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得抛物线的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证△MEG∽△MHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标．
②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：
①当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；
②当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①．
点评：此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．