Question

24、如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标．
（2）根据抛物线和已知直线的解析式，易求得A、B、C、D四点的坐标，即可得到∠OBD、∠OBC的度数；在过A、E、F三点的圆中，由圆周角定理知：∠AEF=∠OBC，∠AFE=∠OBE，即可得到∠AEF、∠AFE的度数，然后根据这两个角的度数来判断△AEF的形状．

解答：解：（1）y=x²-2x-3
=x²-2x+1-1-3
=（x-1）²-4；
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．

（2）由抛物线y=x²-2x-3和直线y=-x+3可求得：
A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，3），
∴OB=OC=OD=3，
∴∠OBD=∠OBC=45°；
又∵∠OBD=∠AFE，∠OBC=∠AEF，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∴∠EAF=90°，AE=AF；
∴△AEF是等腰直角三角形．

点评：此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法、圆周角定理、等腰直角三角形的判定等知识，在解题过程中，要注意数形结合思想的应用，难度中上．