Question

P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练，如图，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，BC=270m，P从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走，Q从点C开始沿CB边向点B以3m/s的速度跑步．
（1）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD（P、Q二人所在的位置为P、Q点）是平行四边形？
（2）添加一个什么条件时，P、Q二人分别从A、C两点同时出发，在某时刻四边形PQCD是菱形？说明理由．
（3）P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD是等腰梯形？
（4）若添加AB=50m，P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时，△BPQ为等腰三角形？（第4小题只要求写出答案即可．）

Answer 1

解：设同时出发t秒后四边形PQCD为平行四边形．
（1）当四边形PQCD为平行四边形时，有PD=CQ，
即240-t=3t，
t=60．

（2）添加的条件是：DC=180m．
∵四边形PQCD为菱形，
∴CD=DP=CQ=PQ．
当DP=CQ时，由（1）的计算可知t=60秒，
∴CD=DP=240-t=240-60=180．
故添加条件：CD=180m即可．

（3）当四边形PQCD为等腰梯形时，作PE⊥BC垂足为E，作DF⊥BC垂足为F．

∵四边形ABCD为直角梯形，且∠B=90°DF⊥BC，易证ABFD为矩形．
∴BE=AP．
∴CF=BC-BF=BC-AD=270-240=30．
又四边形PQCD为等腰梯形，PE⊥BC，DF⊥BC，
∴QE=CF=30．
又CQ-QE-CF=EF，
故3t-30-30=240-t，
t=75．


（4）当t=54秒或t=10秒时，△BPQ是等腰三角形．
分析：（1）设同时出发t秒后四边形PQCD为平行四边形．根据平行四边形的对边相等，列方程求解；
（2）结合菱形的性质和（1）的结论即可求解；
（3）作PE⊥BC垂足为E，作DF⊥BC垂足为F．根据矩形的性质和等腰梯形的性质得到关于t的方程即可计算；
（4）此题应考虑PB=BQ或PB=PQ或PQ=BQ．
当PB=PQ时，作PS⊥BQ于S，根据等腰三角形的三线合一，得270-3t=2t，t=54；
当PB=BQ时，根据勾股定理列方程，得+t²=（270-3t）²，t=192.5（舍去），t=10；
当PQ=BQ时，根据勾股定理列方程，得+（270-4t）²=（270-3t）²，此方程无实数根．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及判定、菱形的性质以及判定、等腰三角形的判定．
熟练运用勾股定理进行计算．