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19.如图,△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,P是边AC上的一动点,PE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F.设AP=x,则能使以点P、C、F为顶点的三角形与以A、P、E为顶点的三角形相似的x=$\frac{75}{34}$或$\frac{75}{41}$.

分析 利用勾股定理列式求出AB,再设AP=a,利用∠A的余弦表示出AE,再求出BE,利用∠B的余弦求出BF,然后求出CF,再根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{CF}{PF}$,然后求解即可.

解答 解:在∠C=90°,BC=4,AC=3,
由勾股定理得,AB=5,
设AP=x,
则AE=AP•cosA=$\frac{3}{5}$x,
所以,BE=5-$\frac{3}{5}$x,
BF=BE•cosB=$\frac{4}{5}$×(5-$\frac{3}{5}$x)=4-$\frac{12}{25}$x,
所以,CF=4-(4-$\frac{12}{25}$x)=$\frac{12}{25}$x,
∵△PCF与△APE相似,
∴$\frac{PC}{CF}$=$\frac{AE}{PE}$,或$\frac{PC}{CF}$=$\frac{PE}{AE}$,
即$\frac{3-x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{3}{4}$或$\frac{3-x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{4}{3}$,
解得x=$\frac{75}{34}$或x=$\frac{75}{41}$,
故答案为:$\frac{75}{34}$或$\frac{75}{41}$.

点评 本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键,难点在于(2)利用锐角三角函数表示出相应的边并分情况讨论.

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