Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：

①AD和EF互相垂直平分；

②AE=AF；

③当∠BAC=90°时，AD=EF；

④DE是AB的垂直平分线．

其中正确的是_________________(填序号)．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定定理以及矩形的判定与性质进行逐一判断．

解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，
在△AED和△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又DE=DF，∴AD垂直平分EF，而EF不一定垂直平分AD，故①错误，②正确；

∵∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF为矩形，∴AD=EF，故③正确；

∵DE⊥AB，而AD与BD不一定相等，∴不能得出DE是AB的垂直平分线，④错误；
故答案为：②③．