Question

如图1，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P在直线上AC（不与点O重合），作直线BP，分别作AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、点F．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）如图2，连接OE，OF，判断OE、OF的关系并证明你的结论；
（3）若点P在如图3所示位置，请判断线段AE，OE，CF三者之间的关系，直接写出结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）利用正方形性质得出∠BAE=∠FBC，进而利用AAS得出△ABE≌△BCF；
（2）利用正方形性质得出∠OBE=∠OCF，进而利用SAS得出△OBE≌△OCF，进而得出∠EOF=∠COE+∠COF=∠BOC=90°求出即可；
（3）首先利用正方形性质以及全等三角形的判定得出△ABE≌△BCF，进而得出△EOF是等腰直角三角形，求出即可．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、点F，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中

∠BEA=∠CFB ∠EAB=∠FBC AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
                  
（2）解：OE=OF，OE⊥OF
理由：连接BO，
∵正方形ABCD，
∴OB=OC，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，
由（1）得∠ABE=∠BCF，BE=CF，
∴∠ABE-∠ABO=∠BCF-∠ACB，
即∠OBE=∠OCF，
在△OBE和△OCF中

BO=CO ∠OBE=∠OCF BE=CF

，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠BOC=90°，
∴OE⊥OF；
                     
（3）

2

EO=AE+FC，
理由：由题意可得：∠AEB=∠BFC=90°，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中

∠AEB=∠BFC ∠EBA=∠FCB AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，FC=EB，
∴EF=BE+BF=AE+FC，
由（2）得：EO⊥FO，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴

2

EO=BE，
∴

2

EO=AE+FC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质和等腰直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法进而求出是解题关键．