分析 （1）OD⊥AB时，欲求E坐标，注意求出OE的长即可；
（2）分两种情形求解①如图3中，当0＜t≤$\frac{4}{3}$时．②如图4中，当$\frac{4}{3}$＜t≤2时；
（3）由△QCE≌△QCH，推出∠QCE=∠QCH=30°，∠QEC=∠QHC=90°，易知GH=GQ=QD=DE=$\sqrt{3}$t，EC=4-t，在Rt△CQE中，∠QCE=30°，根据EC=$\sqrt{3}$EQ，可得4-t=$\sqrt{3}$•2$\sqrt{3}$t，解方程即可解决问题；
解答 解：（1）如图1中，当OD⊥AB时．
∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC，
∴AO=OC=2，∠BAO=60°，∠AOD=30°
∴AB=2OA=4，OB=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴OD=OA•sin60°=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\sqrt{3}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（2）如图2中，当D与G重合时，易证AE=CF=BG，EC=BF=AD=2AE，
∴AE=$\frac{4}{3}$，AD=2AE=$\frac{8}{3}$，此时t=$\frac{4}{3}$s．
①如图3中，当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，
由题意AD=2t，则AE=t，EC=4-t，CF=$\frac{1}{2}$（4-t），BF=4-CF=4-$\frac{1}{2}$（4-t），BG=$\frac{1}{2}$BF=2-$\frac{1}{4}$（4-t），
∴DG=4-AD-BG=4-2t-[2-$\frac{1}{4}$（4-t）]=3-$\frac{9}{4}$t．
②如图4中，当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，
由题意AD=2t，则AE=t，EC=4-t，CF=$\frac{1}{2}$（4-t），BF=4-CF=4-$\frac{1}{2}$（4-t），BG=$\frac{1}{2}$BF=2-$\frac{1}{4}$（4-t），
∴DG=AD+BG-4=2t+[2-$\frac{1}{4}$（4-t）]-4=$\frac{9}{4}$t-3．
综上所述DG=$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{9}{4}t}&{（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{\frac{9}{4}t-3}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\end{array}\right.$．
（3）如图5中，由题意EC=2CF，CH=2CF，∴EC=CH．
在△CQE和△CQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CQ=CQ}\\{CE=CH}\\{QE=QH}\end{array}\right.$，
∴△QCE≌△QCH，
∴∠QCE=∠QCH=30°，∠QEC=∠QHC=90°，
易知GH=GQ=QD=DE=$\sqrt{3}$t，EC=4-t，
∵在Rt△CQE中，∠QCE=30°，
∴EC=$\sqrt{3}$EQ，
∴4-t=$\sqrt{3}$•2$\sqrt{3}$t，
∴t=$\frac{4}{7}$，
∴DG=3-$\frac{9}{4}$×$\frac{4}{7}$=$\frac{12}{7}$．
点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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