Question

若一次函数y=a₁x+b₁（a₁≠0，a₁、b₁是常数）与y=a₂x+b₂（a₂≠0，a₂、b₂是常数），满足a₁+a₂=0且b₁+b₂=0，则称这两函数是对称函数．
（1）当函数y=mx-3与y=2x+n是对称函数，求m和n的值；
（2）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+3图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，点C与点B 关于x轴对称，过点A、C的直线解析式是y=kx+b，求证：函数y=2x+3与y=kx+b是对称函数．

Answer 1

解：（1）∵函数y=mx-3与y=2x+n是对称函数，
∴由题意可知，
解得；
（2）对于一次函数y=2x+3，
令x=0，解得y=3；令y=0，解得x=-，
∴A（-，0），B（0，3），
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，-3），
将A与C的坐标代入y=kx+b中得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=-2x-3，
∵2+（-2）=0，3+（-3）=0，
∴函数y=2x+3与y=kx+b是对称函数．
分析：（1）根据题中对称函数的定义，得到m+2=0，-3+n=0，即可求出m与n的值；
（2）对于一次函数y=2x+3，令x=0求出y的值，确定出B的坐标；令y=0求出x的值，确定出A的坐标，再由C与B关于x轴对称，求出C的坐标，将A与C的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k=-2，b=-3，确定出直线AC的解析式为y=-2x-3，由（-2）+2=0，（-3）+3=0，根据题中对称函数的定义，即可得证．
点评：此题考查了一次函数综合题，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．