Question

【题目】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA．求证：AD＝AB+CD．

小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．

（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、B重合），以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）猜想EG＝DF+FG，理由见解析.

【解析】

（1）如图2，作辅助线EF,使AB=AF,构建全等三角形，△AEF≌△AEB，△DEF≌△DEC，得出FD=CD,从而得出结论；（2）猜想EG＝DF+FG，在EG上截取EH＝DF，连接BH，根据已知条件证明 △BEH≌△BDF，找出∠ABH＝45°，再证明△BGH≌△BGF，即可得出结论.

（1）证明；在AD上截取AF＝AB，连接EF，如图2所示：

∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，

∴∠BAE＝∠FAE，∠CDE＝∠FDE，

在△AEF和△AEB中，，

∴△AEF≌△AEB（SAS），

∴∠AFE＝∠B＝90°，

∴∠DFE＝90°，

在△DEF和△DEC中，，

∴△DEF≌△DEC（AAS），

∴FD＝CD，

∵AD＝AF+FD，

∴AD＝AB+CD；

（2）解：猜想EG＝DF+FG，理由如下：

在EG上截取EH＝DF，连接BH，如图3所示：

∵BE⊥EG，DF⊥BD，

∴∠BEH＝∠BDF＝90°，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴BE＝BD，∠EBD＝90°，

在△BEH和△BDF中，，

∴△BEH≌△BDF（SAS），

∴BH＝BF，∠EBH＝∠DBF，

∴∠EBH+∠HBD＝∠DBF+∠HBD，

∴∠EBH＝∠HBC＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠ABH＝45°，

在△BGH和△BGF中，，

∴△BGH≌△BGF（SAS），

∴GH＝GF，

∵EG＝EH+GH，

∴EG＝DF+FG．