Question

如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

Answer 1

分析：（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

解答：解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=

BQ2+BP2

=

42+62

=

52

=2

13

；

（2）BQ=2t，
BP=8-t …1′
2t=8-t，
解得：t=

8

3

…2′；

（3）①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．…1′
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．…1′
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=

AB•BC

AC

=

6×8

10

=

24

5

，
所以CE=

BC2-BE2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒．…2′
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．