Question

21、（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．
（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？
（3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？

Answer 1

分析：（1）列举出所有小于30的质数，再求出这些质数的和即可；
（2）根据千位数是1的四位自然数中奇数与偶数相等即可解答；
（3）设满足题设性质的自然数为x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数码，又设质数p₁＜p₂＜p₃＜p₄，则依题意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k为自然数，再分别把p₁=2、3、5、7、11、13、17、19、23代入求出x的值，找出符合条件的自然数即可．

解答：解：（1）不超过30的质数和为
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129；
（2）千位数是1的四位自然数中最小为1000最大为1999．共连续1000个自然数．其中有500个是偶数．所以千位数是1的四位偶自然数共有500个；
（3）设满足题设性质的自然数为x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数码．
又设质数p₁＜p₂＜p₃＜p₄，则依题意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k为自然数．
若p₁=2，则kp₁p₂p₃p₄+1为奇数，与x为偶数不符．所以p₁，p₂，p₃，p₄均为奇质数．
设p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11，有3×5×7×11=1155，所以k=1．
而p₁=3，p₂=5，p₃=11，p₄=13时3×5×11×13=2145＞1999．
所以p₁=3，p₂=5，p₃=7是①中p₁，p₂，p₃的唯一取值法．这样一来，只须再对p₄讨论：
当p₄=11时，x₁=3×5×7×11+1=1156．
当p₄=13时，x₂=3×5×7×13+1=1366．
当p₄=17时，x₃=3×5×7×17+1=1786．
当p₄=19时，x₄=3×5×7×19+1=1996．
而当p₄=23时，x₅=3×5×7×23+1＞2000不合要求．
所以，满足题设条件的自然数共四个，它们是1156，1366，1786，1996．
其中最大的一个是1996．

点评：本题考查的是质数与合数、自然数、奇数与偶数的定义，是一道难度较大的题目．