Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，1），B（6，2），点P是x轴上一动点．求：
①PA+PB的最小值及此时点P的坐标；
②|PA-PB|的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，再用待定系数法求出直线A′B的坐标，求出直线与x轴的交点即可，根据两点间的距离公式求出A′B的长即可；
（2）由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，|PA-PB|＜AB，又因为A，B两点都在x轴同侧，则当A、B、P三点共线时，|PA-PB|=AB，即|PA-PB|≤AB，所以本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵点A（-2，1），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（-2，-1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-1}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=$\frac{3}{8}$x-$\frac{1}{4}$，
当y=0时，x=$\frac{2}{3}$．
∴P（$\frac{2}{3}$，0）；
∵A′（-2，-1），B（6，2），
∴A′B=$\sqrt{（-2-6）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{73}$，即PA+PB的最小值为$\sqrt{73}$；
（2）解：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（-2，1），B（6，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴y=$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{4}$，
令y=0，得0=$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{4}$，
解得x=-10．
∴点P的坐标是（-10，0）．

点评 此题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．