Question

8．已知抛物线y₁=ax²+bx-4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0）．
（1）求抛物线y₁的函数解析式；
（2）如图①，将抛物线y₁沿x轴翻折得到抛物线y₂，抛物线y₂与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y₁于点E，求线段DE的长度的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y₂上一动点，⊙P与直线BC相切，且S_⊙P：S_△DFH=2π，求满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A（-1，0）和点B（4，0）代入y₁=ax²+bx-4即可得到结论；
（2）由对称性可知，得到抛物线y₂的函数解析式为y₂=-x²+3x+4，求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设D（m，-m+4），E（m，m²-3m-4），其中0≤m≤4，得到DE=-m+4-（m²-3m-4）=-（m-1）²+9，即可得到结论；
（3）由题意得到△BOC是等腰直角三角形，求得线段BC的垂直平分线为y=x，由（2）知，直线DE的解析式为x=1，得到H（2，2），根据S_⊙P：S_△DFH=2π，得到r=$\sqrt{2}$，由于⊙P与直线BC相切，推出点P在与直线BC平行且距离为$\sqrt{2}$的直线上，于是列方程即可得到结论．

解答 解：（1）将点A（-1，0）和点B（4，0）代入y₁=ax²+bx-4得：a=1，b=-3，
∴抛物线y₁的函数解析式为：y₁=x²-3x-4；
（2）由对称性可知，抛物线y₂的函数解析式为：y₂=-x²+3x+4，
∴C（0，4），设直线BC的解析式为：y=kx+q，
把B（4，0），C（0，4）代入得，k=-1，q=4，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设D（m，-m+4），E（m，m²-3m-4），其中0≤m≤4，
∴DE=-m+4-（m²-3m-4）=-（m-1）²+9，
∵0≤m≤4，∴当m=1时，DE_max=9；
此时，D（1，3），E（1，-6）；
（3）由题意可知，△BOC是等腰直角三角形，
∴线段BC的垂直平分线为：y=x，
由（2）知，直线DE的解析式为：x=1，
∴F（1，1），
∵H是BC的中点，
∴H（2，2），
∴DH=$\sqrt{2}$，FH=$\sqrt{2}$，
∴S_△DFH=1，
设⊙P的半径为r，
∵S_⊙P：S_△DFH=2π，
∴r=$\sqrt{2}$，
∵⊙P与直线BC相切，
∴点P在与直线BC平行且距离为$\sqrt{2}$的直线上，
∴点P在直线y=-x+2或y=-x+6的直线上，
∵点P在抛物线y₂=-x²+3x+4上，
∴-x+2=-x²+3x+4，
解得：x₁=2+$\sqrt{6}$，x₂=2-$\sqrt{6}$，
-x+2=-x²+3x+4，
解得：x₃=2+$\sqrt{2}$，x₄=2-$\sqrt{2}$，
∴符合条件的点P坐标有4个，分别是（2+$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），（2-$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$），（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$），（2-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，折叠的性质，二次函数的最大值问题，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．