Question

(12分)如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

【小题1】（1）求抛物线的解析式；
【小题2】（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
【小题3】（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【小题1】（1）由题意，可设抛物线的解析式为，
∵抛物线过原点，
∴， ．
∴抛物线的解析式为．
【小题2】（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是． ……………5分
∴，即．
解之，得　，．
∴满足条件的点有两个：，
【小题3】（3）不存在． …………………………………………………………………………9分
由抛物线的对称性，知，．
若与相似，必有．
设交抛物线的对称轴于点，显然．
∴直线的解析式为．
由，得，．
∴　．
过作轴，垂足为．在中，，，
∴．
又OB=4，
∴，，与不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点N，使与相似．  …………12分

解析