Question

14．证明：不论m取何值，关于x的方程$\frac{1}{4}$x²-$\sqrt{2}$mx+m-3=0总有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 先计算△=（-$\sqrt{2}$m）²-4×$\frac{1}{4}$（m-3）=2m²-m+12，配方得到△=2（m-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{95}{8}$，进一步利用非负数的性质得出答案即可．

解答 证明：∵△=（-$\sqrt{2}$m）²-4×$\frac{1}{4}$（m-3）=2m²-m+12=2（m-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{95}{8}$，
∵（m-$\frac{1}{4}$）²≥0，
∴2（m-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{95}{8}$＞0，即△＞0，
∴对于任何实数m，该方程总有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有两实数根．