Question

【题目】（1）问题发现与探究：

如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连接BD，则①线段AE、BD之间的大小关系是 ，∠ADB= °；②求证：AD=2CM+BD．

（2）问题拓展与应用：

如图2、图3，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点A作直线，在直线上取点D，∠ADC=45°，连结BD，BD=1，AC=，则点C到直线AD的距离是 ．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）① AE=BD，90；②见解析；（2）或

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，CE=CD，由∠ACB=∠DCE=90°，得到∠ACE=∠BCD，证得△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，根据邻补角的定义得到∠AEC=135°即可得到结论；②根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

（2）如图2，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，于是得到△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，根据勾股定理得到AB==2，

，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．如图3，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交DA的延长线于E，于是得到△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，根据勾股定理得到AB==2，，于是可得DE的长度，利用等腰直角三角形DEC的性质得出结论．

解:（1）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE与△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，

∵∠CED=∠CDE=45°，

∴∠AEC=135°，∴∠BDC=135°，

∴∠ADB=90°；

故答案为：AE=BD，90°；

②在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．

∴

(2) 如图2，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，又∠ADC=45°

则△CDE是等腰直角三角形，

由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，

∵AB==2，

∴AD= ，

∴DE=AD-AE=，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CH=DE=，

如图3所示，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交DA的延长线于E，又∠ADC=45°

则△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，

∵AB==2， ∴AD= ，

∴DE=AE+AD=1+，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CH=DE=，

∴点C到直线的距离是 或，

故答案为： 或 ．