Question

如图，在直角坐标系中，已知点A、B在x轴上，且B（t，0）（-1＜t＜0），等腰△ABC的顶点B在以AC为直径的半圆D上，点E是直线OC与半圆D除点C以外的另一个交点，连接AE与BC相交于点F．又已知抛物线y=a（x²-2x）向左平移2个单位长度后点O恰与点A重合、点M恰与原点O重合，并把平移后所得抛物线记为H．
（1）求证：BF=BO；
（2）如果抛物线H还经过点F，试用含t的式子表示a；
（3）若AE经过△AOC的内心I，试求出此时经过三点A、F、O的抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，问在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线AF的对称点在x轴上？若存在，请求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AC为半圆的直径，
∴∠ABC=∠CBO=90°，∠AEC=90°；
∵△ABC为等腰三角形，
∴BA=BC；
∵∠AEC=90°，点C、E、O在同一直线上，
∴∠AEO=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
在△ABF与△CBO中，
∵，
∴△ABF≌△CBO，
∴BF=BO．

（2）解：∵点B（t，0），
∴BF=BO=-1，即点F的坐标（t，-t）；
y=a（x²-2x）=a（x-1）²-a，即原抛物线的顶点为（1，-a）；
由题意知，抛物线H的解析式可记为y=a（x+1）²-a；
∵抛物线H过点F（t，-t），
∴-t=a（t+1）²-a，at²+2at+a-a=-t
即：a==-（-1＜t＜0）．

（3）解：∵O、M是抛物线y=a（x²-2x）与x轴的交点，
∴O（0，0）、M（2，0）；
由题意知：A（-2，0）、OA=2；
∵AE过△ACO的内心I，
∴∠1=∠4；
∵∠AEC=∠AEO=90°，AE=AE
∴△ACE≌△AOE，
∴AC=AO，且AC与AO关于直线AE对称；
在Rt△ABC中，AC=2，∠ACB=45°，
∴AB=，
∴BO=2-，t=-2；
此时抛物线H的解析式为y=-（x²+2x），即：y=-x²-x．

（4）解：由（3）可知，直线AC与AO关于直线AE对称，所以只要直线AC与抛物线H有交点，那么就存在满足题意的点P；
设直线AC的解析式为y=kx+b，代入点A（-2，0）、C（-2，），得：
，
解得
故直线AC：y=x+2；
联立直线AC和抛物线的解析式，有：
，
解得，
故所求点P的坐标为P₁（-2，0）、P₂（-，2-），即在抛物线H上存在点P₁和P₂，其关于直线AF的对称点在x轴上．
分析：（1）通过观察图形，若证线段相等，可以证明它们所在的三角形全等，即证△OBC、△FBA全等即可；这两个三角形中，∠FAB、∠BCO对应的是同一段弧，所以这一对角相等，而∠CBO、∠ABF都是直角，且AB、BC是等腰三角形的腰，不难判断这两个三角形全等，则题目可证．
（2）由（1）的结论可以得出点F的坐标，而平移后的抛物线H可由“左加右减、上加下减”的平移规律得出，将点F的坐标代入抛物线H的解析式中求解即可．
（3）在（2）中，已经求出了用t表示出来的抛物线H的解析式，所以此题的关键是求出t的值；点I是△AOC的内心，所以直线AE是∠CAO的角平分线，即直线AC、AO关于直线AE对称，而AE⊥OC（圆周角定理），那么显然△AOC是等腰三角形，且AO=AC；抛物线左移2个单位后，O、A以及M、O重合，所以OA=OM=2，由此不难看出AO=AC=2；而△ABC是等腰直角三角形，由此可以求出AB的长，由OB=OA-AB即可得出t的值，由此得解．
（4）在（3）题中已经明确了直线AC、AO关于直线AE对称，且AO正好位于x轴上，所以直线AC与抛物线的交点都符合点P的要求．
点评：考查了二次函数和圆的综合题，涉及了二次函数解析式的确定、圆周角定理、三角形的内心、全等三角形的判定和性质以及轴对称图形的性质等重要知识点；后面三题环环相扣，紧扣图形是解题的主要思路．