Question

7．如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于点A，过点A的直线交⊙O₁于B，交⊙O₂于C，过点B作直线BD与⊙O₁⊙O₂分别相交于E，D，连接AE，AD，DC，若AE：AD=ED：DC．
（1）∠EAD=∠DAC；
（2）BD²=BA•BC．

Answer 1

分析 （1）过点A作两圆的公切线GF交BD于G，延长DA交⊙O₁于H，连接BH，根据已知条件和图形证明△AED∽△ADC，得到答案；
（2）根据△AED∽△ADC，证明△BDA∽△BCD，根据相似三角形的性质证明结论．

解答 证明：（1）过点A作两圆的公切线GF交BD于G，延长DA交⊙O₁于H，连接BH，
则∠ADC=∠FAC，∠H=∠BAG，
∵∠BAG=∠FAC，
∴∠H=∠ADC，
根据圆内接四边形的性质可知：∠H=∠DEA，
∴∠DEA=∠ADC，
又∵AE：AD=ED：DC，
∴△AED∽△ADC，
∴∠EAD=∠DAC；
（2）∵△AED∽△ADC，
∴∠BDA=∠DCA，又∠B=∠B，
∴△BDA∽△BCD，
∴$\frac{BA}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，即BD²=BA•BC．

点评 本题考查度数相切两圆的性质和相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键，注意两圆公切线的性质的应用．