【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若CF=2,CE=4,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2)⊙O的半径为5.
【解析】
(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得:OE∥BC,所以∠OEA=90°,则AC是⊙O的切线;
(2)过点O作OH⊥BF交BF于H,先求OH和BH的长,再根据勾股定理求OB的长.
(1)证明:连接OE.
∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠EBC,
∴∠EBC=∠OEB,
∴OE∥BC,
∴∠OEA=∠C,
∵∠ACB=90°,
∴∠OEA=90°,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径为r.
过点O作OH⊥BF交BF于H,
由题意可知四边形OECH为矩形,
∴OH=CE=4,CH=OE=r,
∴BH=FH=CH-CF=r-2,
在Rt△BHO中,∵OH2+BH2=OB2,
∴42+(r-2)2=r2,
解得r=5.
∴⊙O的半径为5.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于A(1,4),B(4,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当x>0时,的解集.
(3)点P是x轴上的一动点,试确定点P并求出它的坐标,使PA+PB最小.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC,且过D作DG⊥PG,连接CG,则CG最小值为( )
A. B. C. D.
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【题目】近些年全国各地频发雾霾天气,给人民群众的身体健康带来了危害,某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售.若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元,且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同.
(1)求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元?
(2)若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台,且进货花费不超过42000元,问最少进货甲种空气净化器多少台?
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥n,则m的取值范围是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【题目】在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为_____m2.
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【题目】如阁,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P从点A出发,沿折线AC﹣BC以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,当点P不与点A、B重合时,在边AB上取一点Q,满足∠PQA=2∠B,过点Q作QM⊥PQ,交边BC于点M,以PQ、QM为边作矩形PQMN,设点P的运动时间为t秒
(1)用含t的代数式表示线段PQ的长;
(2)当矩形PQMN为正方形时,求t的值;
(3)设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为l,求l与t之间的函数关系式;
(4)作点A关于直线PQ的对称点A′,作点C关于直线PN的对称点C′,当点A′、C′这两个点中只有一个点在矩形PQMN内部时,直接写出此时的t取值范围.
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【题目】如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,DE=3,连结DB,过点E作EM∥BD,交BA的延长线于点M。
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:EM是⊙O的切线;
(3)若弦DF与直径AB相交于点P,当∠DPA=45°时,求图中阴影部分的面积。
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