Question

2．如图所示，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y=ax²+bx+c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的解析式．

Answer 1

分析 首先求出点B、C的坐标，再运用顶点坐标式求抛物线的表达式．

解答 解：当x=0时，y=2，所以B点的坐标是（0，2），
当y=0时，x=-2，所以A点的坐标是（-2，0），
∴OA=OB，∴∠OAB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OAB=∠OCB=45°，
∴OC=OB=OA=2，
∴C点的坐标是（2，0），
设抛物线的表达式为y=a（x-2）²，抛物线过B（0，2），
所以4a=2，a=$\frac{1}{2}$，
因此抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$（x-2）²=$\frac{1}{2}$x²-2x+2．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题以及待定系数法求函数解析式的知识，解题的关键是使用顶点坐标式求二次函数的解析式，此题难度不大．