Question

20．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过B点作∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．
（1）如图①，当DE与AC交于P时，求证：BD=DP；
（2）如图②，当DE与AC的延长线交于点P时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，当DE与CA的延长线交于点P时，请直接写出DB与PD的数量关系，此时过D作DF⊥AB于F，求证：AP+AB=2AF．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△BDF≌△PDA，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，同理证明△DAB≌△DFP，可得BD=PD；
（3）如图3，同理作辅助线，证明△BDG≌△PDA，可得BD=PD；
如图4，根据△BDG≌△PDA，得AP=BG，并由等腰三角形ADG的三线合一得：AG=2AF，从而根据线段的和得出结论．

解答 证明：（1）如图1，过D作DF⊥MN，交AB于F，
∴∠ADF=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵MN∥BC，
∴∠MAB=∠ABC=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=DF，
∵∠BDE=90°，
∴∠BDF+∠FDP=90°，
∵∠ADP+∠FDP=90°，
∴∠BDF=∠ADP，
∵∠BFD=180°-∠DFA=180°-45°=135°，
∠DAC=∠DAF+∠BAC=45°+90°=135°，
∴∠BFD=∠DAC，
∴△BDF≌△PDA，
∴BD=PD；
（2）BD=PD仍然成立，理由是：
如图2，过D作DF⊥MN，交AC于F，则∠ADF=90°，
∵MN∥BC，
∴∠DAF=∠ACB=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=DF，
∵∠PDF+∠BDF=90°，
∠ADB+∠BDF=90°，
∴∠PDF=∠ADB，
∵∠PFD=180°-45°=135°，
∠BAD=90°+45°=135°，
∴∠PFD=∠BAD，
∴△DAB≌△DFP，
∴BD=PD；
（3）如图3，BD=PD，理由是：
过D作DG⊥MN，交AB的延长线于G，
同理得△ADG是等腰直角三角形，
∴AD=DG，
∵∠GDB+∠BDA=90°，
∠PDA+∠BDA=90°，
∴∠GDB=∠PDA，
∵∠DGA=∠DAG=45°，∠BAC=90°，
∴∠PAM=180°-∠BAC-∠DAG=45°，
∴∠PAM=∠DGA，
∴△BDG≌△PDA，
∴BD=PD；
如图4，∵AD=DG，DF⊥AG，
∴AG=2AF，
∵△BDG≌△PDA，
∴AP=BG，
∵AG=AB+BG，
∴AG=AB+AP，
∴AP+AB=2AF．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，在证明三角形全等的条件中，常利用同角的余角相等来证明两角相等，本题的三个问题的证明思路类似：都是作MN的垂线，证明△DAB≌△DFP，得出结论．