Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴正半轴上，点在边上，点在边上，且，已知，．

（1）求点的坐标；

（2）点关于点的对称点为点，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的代数式表示；

（3）在（2）的条件下，点为平面内一点，点在线段上运动时，作的平分线交轴于点，为何值时，四边形为矩形？并求此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）故当t=4时，四边形为矩形，此时M（6，-3）．

【解析】

（1）先确定出点A的坐标，进而得出OA，最后在Rt△OEF中，利用勾股定理求出OE即可得出点E的坐标；

（2）分两种情况，用三角形的面积公式即可解决问题；

（3）先利用对称求出点D的坐标，进而得出OD，由角平分线的性质定理得出DP=OD求出点P的坐标，再利用勾股定理求出点N的坐标，根据矩形的性质，由点的平移方式即可求得点M的坐标．

解：（1）在矩形OABC中，B（6，8），
∴A（6，0），
∴OA=6，
设OE=a，
∴EF=AE=OA-OE=6-a，

∵，

，

在Rt△AEF中，根据勾股定理得，OE2+OF2=EF2，
∴a2+12=（6-a）2，
∴，

∴；

（2）∵BC∥OA，B（6，8），OC=AB=8，
∴P（t，8），PB=|t-6|
①当点P在边BC上时，如图1，

∴0≤t＜6，
∴PB=6-t，

；

②当点P在CB的延长时，如图2，

∴t＞6，
∴PB=t-6，

，

即：；

（3）由（1）知，，
∴，
∵点D是点E关于点A的对称点，
∴，

∴，

如图3，

∵四边形DPNM是矩形，
∴∠DPN=90°=∠DON，
∴NP⊥DP，NO⊥OD，
∵DN是∠PDO的平分线，
∴NO=NP，

在Rt△NDO和Rt△NDP中，

，

∴Rt△NDO≌Rt△NDP（HL），

∴，
∵P（t，8），，
∴，
∴，（点P在线段BC上，舍去）

∴P（4，8）
设N（0，n），
∴ON=n，
∴PN=n，CN=OC-ON=8-n，

在Rt△CNP中，根据勾股定理得，CN2+CP2=PN2，
∴（8-n）2+16=n2，
∴n=5，
∴N（0，5），

即点P（4，8）平移到N（0，5），向左平移四个单位，向下平移3个单位，

点D（10,0）由此方式平移后得到的M（6，-3）．

故当t=4时，四边形为矩形，此时M（6，-3）．