Question

13．如图，已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为D，若以BD为直径的⊙M经过点C．

（1）请直接写出C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点E，使∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入抛物线的解析式可得到点C的坐标，依据抛物线的对称轴方程可求得点D的横坐标，然后将点D的横坐标代入可求得点D的纵坐标；
（2）令y=0可求得点A、B的坐标，过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=-a．接下来证明△BOC∽△CND，然后依据相似三角形的性质可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（3）先求得点D的坐标、直线BC的解析式，点D作DE∥BC，交抛物线与点E．设直线DE的解析式为y=-x+b，把点D（1，4）代入直线DE的解析式求得b的值，然后将DE的解析式与抛物线的解析式组成方程可求得点E的坐标；作∠PDB=∠CBD，DP交BC于点P，交抛物线与点E．克证明MP垂直平分BD，从而可求得PM的解析式，然后由PM的解析式和BC的解析式可求得点P的坐标，接下来求得PD的解析式，最后根据DP的解析式和抛物线的解析式可求得E的坐标．

解答 解：∵（1）将x=0代入抛物线的解析式得y=-3a，
∴点C的坐标是（0，-3a）．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{2a}$=1，
∴点D的横坐标为1．
∵将x=1代入抛物线的解析式得y=a-2a-3a=-4a，
∴点D的坐标是（1，-4a）．
（2）解：令y=0得：ax²-2ax-3a=0
∵a≠0，故得x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）．
如图1所示：过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=-4a-（-3a）=-a．

∵BD为⊙M的直径，
∴∠BCD=90°．
∴∠DCN+∠BCO=90°．
∵∠CDN+∠DCN=90°，
∴∠BCO=∠CDN，
∵∠BOC=∠DNC=90°，
∴△BOC∽△CND．
∴$\frac{OB}{CN}=\frac{OC}{DN}$，即$\frac{3}{-a}=\frac{-3a}{1}$，解得：a=±1（其中a=1舍去），
∴a=-1．
∴所求抛物线为y=-x²+2x+3．
（3）解：∵a=-1，
∴D（1，4）．
∵设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直线BC为：y=-x+3．
如图2所示：过点D作DE∥BC，交抛物线与点E．

∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD．
∴设直线DE为y=-x+b
∵把点D（1，4）代入得：4=-1+b，解得：b=5，
∴直线DE为：y=-x+5．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=-{x^2}+2x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=2\\{y_2}=3\end{array}\right.$
∵D（1，4）
∴E（2，3）．
如图3所示：作∠PDB=∠CBD，DP交BC于点P，交抛物线与点E．

∵∠EDB=∠CBD，
∴PD=PB．
又∵MB=MD，
∴PM⊥BD．
∵B（3，0），D（1，4），
∴直线BD为y=-2x+6，且M（2，2）
∴设直线PM为$y=\frac{1}{2}x+{b_2}$，
∴2=1+b₂，
∴b₂=1
∴直线PM为：$y=\frac{1}{2}x+1$
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+1\\ y=-x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{5}{3}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）
∵D（1，4），P（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）
∴直线PD为：y=-7x+11
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-7x+11\\ y=-{x^2}+2x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=8\\{y_2}=-45\end{array}\right.$
∵D（1，4），
∴E（8，-45）．
综上所述，在抛物线上存在满足条件的点E，点E的坐标为E（2，3）或E（8，-45）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、抛物线与坐标轴的交点、函数图象的交点问题，分类画出图形，并求得PE的解析式是解题的关键．