Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）连接OE．
∵DE垂直平分半径OA，
∴OC=

1

2

OA
∵OA=OE，
∴OC=

1

2

OE，CE=

1

2

DE=

3

2

，
∴∠OEC=30°，
∴OE=

EC

cos30°

=

3 2

3 2

=

3

；

（2）证明：由（1）知：∠AOE=60°，

AE

=

AD

，
∴∠B=

1

2

∠AOE=30°，
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°，
∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切线；

（3）连接OF．
∵∠DPA=45°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠EOF=2∠EDF=90°，
∴S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π×( 3 )2

360

-

1

2

×

3

×

3

=

3

4

π-

3

2

．