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    17．阅读下面文字，解决提出的额问题：
    （1）问题提出 大多数同学都解决过这个问题：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，请猜测线段EF、BE、DF之间的等量关系，并直接写出结论：EF=BE+DF（不必证明）；
    （2）拓展研究 如图2，若E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使（1）中线段BE、EF、FD的等量关系仍然成立，则∠EAF与∠BAD应满足的关系是EF=BE+DF，并请加以验证；
    （3）构造运用 运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下面问题，如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于E，若AE=1，试求线段BE的长．

    分析 （1）结论虽然没有要求证明，从探求线段DF、BE、EF之间的等量关系可知，证明EF=BE+DF，需要将△ADF绕点A顺时针旋转90°，旋转后点F对应点M，构成△AME，再寻找它与△AFE全等的条件；
    （2）延长FD使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，从而证得△AEF≌△AFG，则可证得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
    （3）由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB，所以DE=AE=1．根据勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可证得BC=CF，然后证得△CBG≌△CFD，再证得△CGE≌△CED，求得∠3=∠4=45°，从而求得CE=AE=1，在△CBE中根据勾股定理求得BE的长．

    解答 解：（1）EF=BE+DF，
    故答案为：EF=BE+DF．
    （2）EF=BE+DF．
    证明：延长CB至M，使BM=DF，

    ∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
    ∴∠1=∠D，
    在△ABM与△ADF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠D}\\{BM=DF}\end{array}\right.$，
    ∴△ABM≌△ADF．
    ∴AF=AM，∠2=∠3．
    ∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
    ∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF．
    ∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
    在△AME与△AFE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
    ∴△AME≌△AFE．
    ∴EF=ME，即EF=BE+BM．
    ∴EF=BE+DF．
    （3）∵∠CAB=∠CAD=22.5°，
    ∴∠DAE=45°，
    又∵∠AED=90°，
    ∴DE=AE=1，
    ∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{2}$．
    延长AD，过点C作CF垂直AD于F，
    由∠CAB=∠CAD可知AC为∠BAD的角平分线，
    ∴CB=CF，
    把三角形CDF绕点C旋转到CF与CB重合，则DF与GB重合，如图2：
    ．
    ∴CG=CD，∠GCB=∠DCF；
    ∵CB⊥AB，CF⊥AD，∠CAB=∠CAD=22.5°；
    ∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE
    ∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°，
    在△DCE与△GCE中
    $\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠GCE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
    ∴△DCE≌△GCE（SAS），
    ∴∠3=∠4=45°，
    ∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE，
    ∴∠ACE=∠CAB=22.5°，
    ∴CE=AE=1，
    在Rt△CBE中，BE2+BC2=CE2，
    即BE=$\sqrt{\frac{1}{2}C{E}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

    点评 本题综合考查用旋转法证明全等三角形、同时考查了正方形和四边形的有关知识．注意对三角形全等和解直角三角形的综合应用．

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