Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣（x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”．

（1）若直线AB的解析式为：y＝﹣3x+6，求AB的”姊线”CD的解析式为：　 　（直接填空）；

（2）若直线AB的”母线”解析式为：，求AB的”姊线”CD的解析式；

（3）如图2，在（2）的条件下，点P为第二象限”母线”上的动点，连接OP，交”姊线”CD于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求y的最大值；

（4）如图3，若AB的解析式为：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊线”为CD，点G为AB的中点，点H为CD的中点，连接OH，若GH＝，请直接写出AB的”母线”的函数解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m＝﹣，y最大值为；（4）y＝x2﹣2x﹣3．

【解析】

（1）由k，b的值以及”姊线”的定义即可求解；

（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得点A、B、C的坐标，从而求得直线CD的表达式；

（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，

从而求得直线OP的表达式，将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标，

由此求得，从而求得y＝﹣m2﹣m+3，故当m＝﹣，y最大值为；

（4）由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得点C、D的坐标，由此可得点H坐标，同理可得点G坐标，

由勾股定理得：m值，即可求得点A、B、C的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．

（1）由题意得：k＝﹣3，b＝6，

则答案为：y＝（x+6）；

（2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2或﹣4，

点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），

则直线CD的表达式为：y＝（x+4）＝x+2；

（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，

则直线OP的表达式为：y＝x，

将直线OP和CD表达式联立得，

解得：点Q（，）

则＝﹣m2﹣m+4，

y＝＝﹣m2﹣m+3，

当m＝﹣，y最大值为；

（4）直线CD的表达式为：y＝﹣（x+3），

令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝﹣3，

故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣），则点H（﹣，﹣），

同理可得：点G（﹣，），

则GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，

解得：m＝﹣3（正值已舍去），

则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），

则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．