【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)9﹣2π.
【解析】
(1)连结OD,根据垂径定理得到OD⊥BC,根据平行线的性质得到OD⊥DF,根据切线的判定定理证明;
(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,证明△OBD为等边三角形,得到∠ODB=60°,OB=BD=2,根据勾股定理求出PE,证明△ABE∽△AFD,根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算.
证明:(1)连结OD,
∵AD平分∠BAC交⊙O于D,
∴∠BAD=∠CAD,
∴ ,
∴OD⊥BC,
∵BC∥DF,
∴OD⊥DF,
∴DF为⊙O的切线;
(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH⊥DF于H,
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=30°,
∴∠BOD=2∠BAD=60°,
∴△OBD为等边三角形,
∴∠ODB=60°,OB=BD=2 ,
∴∠BDF=30°,
∵BC∥DF,
∴∠DBP=30°,
在Rt△DBP中,PD=BD= ,PB=PD=3,
在Rt△DEP中,∵PD=,DE=,
∴PE= =2,
∵OP⊥BC,
∴BP=CP=3,
∴CE=3﹣2=1,
∵∠DBE=∠CAE,∠BED=∠AEC,
∴△BDE∽△ACE,
∴AE:BE=CE:DE,即AE:5=1: ,
∴AE=
∵BE∥DF,
∴△ABE∽△AFD,
∴ ,即 ,
解得DF=12,
在Rt△BDH中,BH=BD=,
∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣(扇形BOD的面积﹣△BOD的面积)= =9﹣2π.
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【题目】(10分)已知二次函数.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.
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【题目】如图,一次函数的图像分别交y轴、x轴交于点A、B,点P从点B出发,沿射线BA以每秒1个单位的速度出发,设点P的运动时间为t秒.
(1)点P在运动过程中,若某一时刻,△OPA的面积为6,求此时P的坐标;
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,△AOP为等腰三角形?(只需写出t的值,无需解答过程)
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【题目】已知,如图,O为正方形对角线的交点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连结DF,交BE的延长线于点G,连结OG.
(1)求证:△BCE≌△DCF.
(2)判断OG与BF有什么关系,证明你的结论.
(3)若DF2=8-4,求正方形ABCD的面积?
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【题目】关于x的二次函数y=2sinx2-(4sin+)x-sin+,其中为锐角,则:①当a为30°时,函数有最小值﹣;②函数图象与坐标轴可能有三个交点,并且当a为45°时,连接这三个交点所围成的三角形面积小于1;③当a<60°时,函数在x>1时,y随x的增大而增大;④无论锐角a怎么变化,函数图象必过定点.其中正确的结论有( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
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【题目】小明与小亮玩游戏,如图,两组相同的卡片,每组三张,第一组卡片正面分别标有数字1,3,5;第二组卡片正面分别标有数字2,4,6.他们将卡片背面朝上,分组充分洗匀后,从每组卡片中各摸出一张,称为一次游戏.当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10,则小明获胜;当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10,则小亮获胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】如图所示,在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…,过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y=的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…,并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…,按此作法进行下去,则Sn的值为 (n为正整数).
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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间为t,△APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是【 】
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【题目】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外都相同,其中红球有1个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为.
(1)求袋子中白球的个数;(请通过列式或列方程解答);
(2)随机摸出一个球后,不放回,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请结合树状图或列表解答)
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