Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M，N分别为垂足，求证：$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{AC}$．

Answer 1

分析 首先根据平行四边形的性质得∠B=∠D，AD=BC，再由AM⊥BC，AN⊥CD得到∠AMB=∠AND=90°，然后根据相似三角形的判定方法可证明△AMB∽△AND，进而得到AM：AN=AB：AD，由于BC=AD，则AM：AN=AB：AC，由AD∥BC得∠DAM=∠AMB=90°，则∠MAN=90°-∠DAN，根据等角的余角相等得到∠MAN=∠D，所以∠B=∠MAN，根据有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似可判断△AMN∽△BAC，然后根据三角形相似的性质即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∴△AMB∽△AND，
∴AM：AN=AB：AD，
而AD=BC，
∴AM：AN=AB：AC，
即AM：AB=AN：BC①，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB=90°，
∵∠MAN=90°-∠DAN，
而∠D=90°-∠DAN，
∴∠MAN=∠D，
而∠D=∠B，
∴∠B=∠MAN②，
由①②得△AMN∽△BAC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{AC}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．也考查了平行四边形的性质．