Question

13．如图①，△ABC和△DBE是两个一模一样的三角板（两锐角为30°，60°），现将△DBE绕点B顺时针旋转，计旋转角为θ（0°＜θ≤180°），连接AD，CE．
（1）问题发现
当θ=90°时，$\frac{CE}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）拓展探究
试判断，当0°＜θ＜180°时，$\frac{CE}{AD}$的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．
（3）解决问题
若AC=2，请直接写出在旋转过程中AD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据△BCE和△BAD都是等腰直角三角形进行判断；（2）先判定△CBE∽△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例进行判断；（3）当A、D、B三点共线时，AD达到最大．

解答 解：（1）如图，当θ=90°时，△BCE和△BAD都是等腰直角三角形，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CB}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）无变化．
证明：在旋转过程中，∠CBE=∠ABD 
又由△ABC≌△DBE可知：AB=DB，CB=EB
∴$\frac{CB}{AB}=\frac{EB}{DB}$
∴△CBE∽△ABD
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{CB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
即$\frac{CE}{AD}$的大小无变化
（3）如图，当旋转角θ=180°时，AD达到最大，最大值为$2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了图形的旋转，解决问题的关键是掌握旋转的性质．解题时注意：①旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）；②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）；③经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等．