Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+3与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数y=x²+bx+3的图象上一个动点，点P的横坐标是m，且m＞3，过点P作PM，PM交直线AB于M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点M的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点P的坐标；若不能请说出理由．

Answer 1

（1）将点B（3，0）坐标代入y=x²+bx+3得：0=9+3b+3，
解得b=-4，
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴A点坐标为A（0，3），
直线AB的解析式为y=-x+3，
C为⊙C的圆心，CA=CB=

3

2

2

，
故C点坐标为（

3

2

，

3

2

），
过C作CD⊥PM于点D，CD=CA=CB=

3

2

2

，
∴D点坐标为（

3

2

(1+

2

)，

3

2

），
x_M=

3

2

(1+

2

)，
将x_M=

3

2

(1+

2

)代入y=-x+3得y_M=

3

2

(1-

2

)，
∴点M的坐标为（

3

2

(1+

2

)，

3

2

(1-

2

)）；

（3）若△APM为等腰三角形，进行分类讨论；
①当PA=PM时，P（m，m²-4m+3）则M（m，-m+3），
|PM|=|m²-3m|，|PA|=

m2+(m2-4m)2

，|AM|=

m2+(3+m-3)2

=m

2

；
由PA=PM可得|m²-3m|=

m2+(m2-4m)2

，
解得m=4，m²-4m+3=3，
则P点坐标为P（4，3），
②当PA=AM时，

m2+(m2-4m)2

=m

2

，
解得m=3，或m=5，
当m=3时，m²-4m+3=0，由题意可知m＞3，故m=3不合题意；
当m=5时，m²-4m+3=8，
故点P坐标为（5，8），
③当PA=AM时，|m²-3m|=m

2

，
解得m=3+

2

或m=3-

2

，
由题意可知m＞3，故m=3-

2

舍去，
当m=3+

2

时，m²-4m+3=2

2

+2，
故点P坐标为（3+

2

，2+

2

）．