Question

19．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）作图：分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD；再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；
利用等边三角形的性质证明△DAC≌△BAE可以得出结论；
（2）相等，利用正方形性质证明△DAC≌△BAE，则BE=CD；
（3）构建等腰直角△ABD，得BE=CD，利用勾股定理求CD的长，即是BE的长．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（2）如图2，BE=CD，
∵正方形ABFD和正方形ACGE，
∴∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（3）由（1）（2）的解题经验可知：过点A向△ABC外作等腰直角△ABD，使∠DAB=90°，AD=AB=100，∠ABD=45°，
∴BD=100$\sqrt{2}$，
如图3，连接CD，则由（2）可得：BE=CD，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100，BD=100$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{10{0}^{2}+（100\sqrt{2}）^{2}}$=100$\sqrt{3}$，
∴BE=CD=100$\sqrt{3}$，
答：BE的长为100$\sqrt{3}$米．

点评 本题是一个由三角形向外作两个等边三角形或正方形得一相同结论，并利用这一结论解决生活中的实际问题；考查了等边三角形、正方形的性质及全等三角形的判定和性质；找出图形中三角形全等是解决此题的关键；并利用勾股定理计算边长．