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【题目】如图,在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的中线,BD与CE相交于点O,点M、N分别是OB、OC的中点.

(1)求证:EN与DM互相平分;
(2)若AB=AC,判断四边形DEMN的形状,并说明理由.

【答案】
(1)

证明:∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线

∴点D、E分别是边AC、AB的中点

∴DE是△ABC的中位线

∴DE∥BC,DE= BC

同理得:MN∥BC,MN= BC

∴DE∥MN,DE= MN

∴四边形DEMN是平行四边形

∴EN与DM互相平分


(2)

解:四边形DEMN是矩形.理由如下:

∵AB=AC

∴∠EBC=∠DCB

∵点D、E分别是边AC、AB的中点

∴EB=DC

又BC=CB

∴△EBC≌△DCB

∴EC=DB

∵EN与DM互相平分,点M、N分别是OB、OC的中点

∴OE= EC,OD= BD

∴OE=OD

即EN=DM

DEMN是矩形


【解析】(1)根据D、E、M、N分别是中点,由三角形中位线定理可以得出DE∥BC,DE= BC;MN∥BC,MN= BC;再根据等量代换得到DE∥MN,DE= MN;根据平行四边形的判定一组对边平行且相等的四边形为平行四边形,再根据平行四边形的性质得EN与DM互相平分。
(2)由AB=AC得到∠EBC=∠DCB,再由点D、E分别是中点得到EB=DC;由已知条件得到△EBC≌△DCB(SAS),再由全等三角形性质得到EC=DB;
根据中点可以得出OE= EC,OD= BD;再等量代换得OE=OD;即EN=DM;根据对角线相等的平行四边形是矩形。
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半),还要掌握平行四边形的判定与性质(若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积)的相关知识才是答题的关键.

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B.3个
C.2个
D.1个

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