Question

【题目】如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别是OB、OC的中点.

（1）求证：EN与DM互相平分；
（2）若AB=AC，判断四边形DEMN的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线

∴点D、E分别是边AC、AB的中点

∴DE是△ABC的中位线

∴DE∥BC，DE= BC

同理得：MN∥BC，MN= BC

∴DE∥MN，DE= MN

∴四边形DEMN是平行四边形

∴EN与DM互相平分

（2）

解：四边形DEMN是矩形.理由如下：

∵AB=AC

∴∠EBC=∠DCB

∵点D、E分别是边AC、AB的中点

∴EB=DC

又BC=CB

∴△EBC≌△DCB

∴EC=DB

∵EN与DM互相平分，点M、N分别是OB、OC的中点

∴OE= EC，OD= BD

∴OE=OD

即EN=DM

∴□DEMN是矩形

【解析】（1）根据D、E、M、N分别是中点,由三角形中位线定理可以得出DE∥BC，DE= BC；MN∥BC，MN= BC；再根据等量代换得到DE∥MN，DE= MN；根据平行四边形的判定一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质得EN与DM互相平分。
（2）由AB=AC得到∠EBC=∠DCB，再由点D、E分别是中点得到EB=DC；由已知条件得到△EBC≌△DCB（SAS），再由全等三角形性质得到EC=DB；
根据中点可以得出OE= EC，OD= BD；再等量代换得OE=OD；即EN=DM；根据对角线相等的平行四边形是矩形。
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半)，还要掌握平行四边形的判定与性质(若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积)的相关知识才是答题的关键．